Klausur Mathe3 05.02.2004

Aufgabenblatt:
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/III/2004-02-05.pdf (geht nur aus dem Uninetz)

Aufgabe 1

a)

Eigenwerte: -2, 1, 4

b)

Inhomogenes LGS lösen:

C1 = 1
C2 = 5
C3 = 2

AWA-Lösung:

$ y_1 = -2*1*e^x + 0*5*e^{3x} + 0*2*e^{-x} $

$ y_2 = 1*1*e^x + 1*5*e^{3x} + 1*2*e^{-x} $

$ y_2 = 1*1*e^x + 1*5*e^{3x} + 3*2*e^{-x} $

is richtig!!!!

Aufgabe 2

a)

Zum Beispiel:

$ \alpha = (ef)(da)(cb)(kg)(hj)(li) $

b)

Bahn von g = {g,j,l,h,k,i}

Eine Vertauschung mit außen liegenden Punkten erwirkt eine Trennung zusammengehöriger Elemente. Bsp: (gf)(le)(ha) Es handelt sich um notwendige Vertauschungen jedoch wir die Verbindung zwischen l und h unterbrochen!

c)

| Stabilisator zur Ecke f | = 2

d)

6 * 2 = 12 Automorphismen

Aufgabe 3

Logarithmentagel für Modularpolynom aufstellen. Bei mir ist ganz links die 1 und bis nach rechts aufsteigend dann x^3. Ich starte mit $ \alpha^0 = 1 $ und ende wieder mit $ \alpha^{15} = \alpha^0 = 1 $.

a)

$ \alpha^9 = 1+x^2 $

b)

$ \alpha^4 = x^3+1 $

$ \alpha^5 = x^3+x+1 $

$ \alpha^4 * \alpha^5 = \alpha^9 = x^2 + 1 $

c)

$ (x^3+1) * h(x) mod p(x) = x^2 + 1 $

<=>

$ \alpha^4 * h(x) mod p(x) = \alpha^{13} $

=>

$ \alpha^4 * \alpha^9 = \alpha^13 = x^2 + 1 $

=>

Ergebnis: $ h(x) = 1 + x^2 $

d)

Schauen welche beiden aufeinanderfolgenden Zeilen in der Logarithmentafel eben genau das gewünschte Polynom ergeben.

n = 12

n+1 = 13, denn

$ \alpha^{12} + \alpha^{13} = \alpha^9 = x^2 + 1 $

Aufgabe 4

Grade nachgerechnet, untenstehende Lösung ist richtig. (nein stimmt nicht, begründung und richtige lösung ganz unten)

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also ich komme auf:

d=17 und da bin ich mir einigermaßen sicher, und

m=57, da bin ich mir aber eher unsicher

Berechnung von d

d = e ^-1 mod phi(n)

e = 53; n=77; p,q=7,11; phi(77) = (7-1)*(11-1) = 6*10 = 60

d = 53 ^-1 mod 60

	60	53
60	1	0
53	0	1
7	1	-1
4	-7	8
3	8	-9
1	-15	17

17 = 53^-1 mod 60

Probe:

17*53 = 530+350+21 = 880+21 = 901 = 15*60 + 1

Berechnung von m

m = c^d mod n

m = 39^17 mod 77

chinesischer Restsatz

77=7*11

m1 = 39^17 mod 7 = (35+4)^17 = 4^17 = (2^2)^17 = 2^34 = 2^33 *2 = (2^3)^11 *2 = (7+1)^11*2 = 2

m2 = 39^17 mod 11 = (44-5)^17 = (-5)^17 = (-1)^17 * 5^17

m2 = -1 * 5^17 = -1 * 5^(3*5) * 5^2 = -1 * (5^3)^5 * 25 = -1 * 125^5 * (22+3)

m2 = -1 * (121+4)^5 * 3 = -3 * 4^5 = -3 * (2^2)^5 = -3 * (2^5)^2 = -3 * 32^2

m2 = -3 * (33-1)^2 = -3 * (-1)^2 = -3 = 11-3 = 8

Es geht noch schneller: Man kann die Potenzen modulo (p-1) bzw (q-1) nehmen:

m1 = ( 39 ^(17 mod 6) ) (mod 7) = 4 ^ (18-17) mod 7 = 4 ^-1 = 2

m2 = ( 39 ^(17 mod 10) ) (mod 11) = 6 ^ 7 = (-5)^(-3) = (-1)^-3 * 5^-3

m2 = -1 * (5^3)^-1 = -1* (121+4) ^-1 = -1 * 4^-1 = -1 * 3 = -3 = 8

	11	7
11	1	0
7	0	1
4	1	-1
3	-1	2
1	2	-3

a=2, b= -3, Probe: 22-21 = 1

m = p*a*m1 + q*b*m2 mod n

m = 11*2*8 + 7*(-3)*2 mod 77

m = 88*2 -42 = 11*2-42 =22-42 = -20 = 77-20 = 57

richtige Lösung:

bis zu

x = 39^17 = 2 (mod 11)

x = 19^17 = 8 (mod 7)

stimmts noch. Dann chinesischen Restsatz anwenden liefert:

7*x1 = 8 (mod 11)

11*x2 = 2 (mod 7)

umformen (mit Inversen, die oben schon berechnet sind):

x1 = 8 * -3 = 9 (mod 11)

x2 = 2 * 2 = 4 (mod 7)

jetzt wieder zusammenfassen:

x = 9*7 + 4*11 = 63 + 44 = 107 = 30 (mod 11*7)

Wers nicht glaubt, soll in seinem Hefter nachschauen. (26.07.07)

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