Bearbeiten von „Mathe:Abschluss 2005-07-29 Ganter“

'''Aufgabenblatt:'''<br/>
http://www.math.tu-dresden.de/~baumann/Uebungsblaetter/Mathematik%204(2005)/Fachpr%fcfung290705.ps Fachprüfung290705.ps<br/>
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/Abschluss/2005-07-29.pdf ''(geht nur aus dem Uninetz)''<br/><br/>


== Aufgabe 1 ==

a) V =  {1,3,7,9,11,13,17,19}

b) R = { (1,3), (3,1), (1,7), (7,1), (1,19,), (19,1), (3,9), (9,3), (3,17), (17,3), (7,9), (9,7), (7,13), (13,7), (9,11), (11,9), (11,13), (13,11), (11,17), (17,11), (13,19), (19,13), (17,19), (19,17) }

   ich vermute, dass a-b positiv sein muss (in Hinblick auf c) >> also nur 12 Paare.
ich würde sagen nein! (1,3) und (3,1)  usw. beschreiben einfach nur die gleiche Kante. oder man denkt sich das ganze als gerichteten graphen. kante mit pfeilen an beiden seiten = zwei paare pro kante.

c) Würfel 
   V=Menge der Knoten >> 8
   E=Menge der Kanten >> 12

d) {3,7} ^R = { 1,9 }

== Aufgabe 2 ==

Konvergenzradius von f(x): 5/2

f(2) = 5/9

Konvergenzradius von f'(x): 5/2

<math>f(x) = \sum_n^\infty (-2)^n\frac{x^n}{5^n}</math>

Potenzreihe allgemein:

<math>f(x) = \sum_n^\infty a_n(x-x_0)^n</math>

In diesem Falle also:

<math>x_0 = 0</math> 
und
<math>a_n = \frac{(-2)^n}{5^n}</math>

Konvergenzradius r (im Kleinen Schwarzen):

<math>\frac{1}{r} = \lim_{n->\infty}\frac{|a_n+1|}{|a_n|}</math>

Angewendet:

<math>\frac{1}{r} = \lim_{n->\infty}\frac{|\frac{(-2)^{n+1}}{5^{n+1}}|}{|\frac{(-2)^{n}}{5^{n}}|} = \lim_{n->\infty}\frac{2}{5}
</math>

Daraus folgt für den Konvergenzradius r = 2.5 bzw. 5/2

== Aufgabe 3 ==
a)
<math>
x = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \\0 &0 \end{pmatrix} +
r * \begin{pmatrix} 1-i & 0 \\ -i & 0 \\1 &0 \end{pmatrix} + 
s * \begin{pmatrix} 0 & 1-i \\ 0 & -i \\0 &1 \end{pmatrix} 
</math><br>
anm: ich denke, beide "1-i" bei r und s müssten durch "-1+i" ersetzt werden..

b) Wenn r=s=0, dann ist der Rang 1.
<br>
<br>
<!--
Diese Lösung ist sowas von falsch. Es war nach allen Lösungen gefragt:
Habe da andere Lösung: (verstehe obere Lösung auch net)<br>
<math>
x = \begin{pmatrix} i & -1 \\ 0 & 1-i \\1 &1 \end{pmatrix}

</math>
<br>
Rang der Matrix
<math>
x = \begin{pmatrix} i & -1 \\ 0 & 1-i \\0 &0 \end{pmatrix}

</math>
ist 2. (einfach 2. Zeile mit (i/2 + 1/2) multiplizieren, auf 1. Zeile addieren und man hat die Einheitsmatrix.
-->
Herleitung:

a)

{| {{Prettytable}}
|<math>AX = B</math>||<math>\begin{pmatrix} x_1 & x_4 \\ x_2 & x_5 \\ x_3 & x_6 \end{pmatrix}</math>
|-
|<math>\begin{pmatrix} 1 & i & -i \\ 0 & 1 & i \end{pmatrix}</math>||<math>\begin{pmatrix} 0 & 0  \\ i & 1 \end{pmatrix}</math>
|}

Matrixmultiplikation wie gehabt liefert folgendes Gleichungssystem:

<math>x_1 + i \cdot x_2 - i \cdot x_3 = 0</math><br />
<math>x_2 + i \cdot x_3 = i</math><br />
<math>x_4 + i \cdot x_5 - i \cdot x_6 = 0</math><br />
<math>x_5 + i \cdot x_6 = 1</math><br />

Nun noch festlegen, dass <math>x_3 = t_1</math> und <math>x_6 = t_2</math>, nach den entsprechenden <math>x_i</math> umstellen und in die Matrix X einsetzen:

<math>
X = 
\begin{pmatrix}
(1 - t_1) + i t_1 & -t_2 - i (1 + t_2) \\
i(1-t_1) & 1 - i t_2 \\
t_1 & t_2 \end{pmatrix}, t_1, t_2 \in \mathbb{C}
</math>
<br />
Korrektur:Der erste Eintrag im zweiten Lösungsvektor ist falsch. Er muss lauten: -t2-i*(1-t2)

b) Damit die Komponenten der letzter Zeile gleich null werden, muss gelten: <math>t_1 = t_2 = 0</math>. Dadurch vereinfacht sich X zu:

<math>
\begin{pmatrix}
1 & -i \\
i & 1 \\
0 & 0 \end{pmatrix}
</math>

Multipliziert man die zweite Zeile mit i und addiert die erste darauf, wird auch die zweite Zeile komplett 0. Also hätte X dann einen Rang von 1.

== Aufgabe 4 ==

char. Polynom: x^3-x^2-16x+16

- durch "gucken" Vermutung: x1 = 1

- Hornerschema probieren >> passt 

- quadratische Funktion aus Hornerschema ablesen >> lösen 

- man bekommt x2 und x3

somit Eigenwerte:

L1 = 1

L2 = 4

L3 = -4

Eigenvektoren:

<math>
L1=1: \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}
</math>

<math>
L2=4: \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
</math>

<math>
L3=-4: \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
</math>

so geht es weiter:
http://tud.hicknhack.org/forum/messages?topic=274165

== Aufgabe 5 ==
<math>
y = ln(x)+ {e-1 \over 2}
</math>

== Aufgabe 6 ==
{| {{Prettytable}}
|<math>-\infty</math>||0
|-
|0||1
|-
|1||x
|-
|2||x²
|-
|3||x³
|-
|4||x³+1
|-
|5||x³+x+1
|-
|6||x³+x²+x+1
|-
|7||x²+x+1
|-
|8||x³+x²+x
|-
|9||x²+1
|-
|10||x³+x
|-
|11||x³+x²+1
|-
|12||x+1
|-
|13||x²+x
|-
|14||x³+x²
|}
x^10  = x³ + x

(x^10)^-1 = x^-10 = x^5 = x³+x+1 Potenzen mod 15

== Aufgabe 7 ==

p(0) = 0 = a0

p'(0) = 0 = a1

<math>
\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 & 1\\
32 & 16 & 8 & 4 \\
243 & 81 & 27 & 9
 \end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix} a5\\a4\\a3\\a2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -2\\1\\4\\27 \end{pmatrix}
</math>

a5 = 3/8

a4 = -5/4

a3 = 9/8

a2 = 3/4

== Aufgabe 8 ==
m(x)*x^n : g(x) = q(x)+r(x)/g(x)

(x^10 + x^5 + 1)*x^3 : (x^4 + x + 1) 

(x^10 + x^5 + 1)*x^3 : (x^4 + x + 1) 


(x^13 + x^8 + x^3) : (x^4 + x + 1) = x^9 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3

-(x^13 + x^10 + x^9)

------------------------

x^10 + x^9 + x^8 + x^3

-(x^10 + x^7 + x^6)

------------------------

x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^3

-(x^9 + x^6 + x^5)

------------------------

x^8 + x^7 + x^5 + x^3

-(x^8 + x^5 + x^3)

------------------------

x^7 + x^4 + x^3

-(x^7 + x^4 + x^3)

------------------------

0

R(x) = 0

Länge muss vier sein, also Sicherungssequenz = 0000

Demnach Codewort: 100 001 000 010 000

'''Ist die Lösung sicher richtig ?<br>
Wie soll man da nen Fehler korrigieren ?<br>
Ich hätte gedacht, dass einfach Codewort * Generatorpolynom = Bitfolge<br>
ergibt (sehr leicht) 100111001110011

<br><b>Beide Varianten sind korrekt!</b><br> Das "Protokoll" muss sich nur für eins entscheiden. Der Test auf korrekte Übertragung ist bei beiden gleich ( g(x) | c(x) ), aber das "entschlüsseln" funktioniert jeweils anders. Divisionsmethode erzeugt strukturierten Code, Mul-Methode nicht.<br>-Christoph<br><br>


Wahrscheinlichkeiten:<br>

(1-p)^15 + 15 * (1-p)^14 * p = 0,229*0,9 + 15* 0,229*0,1 = ca 0,55'''

(allg: P(e) = (n choose k)p^k * (1-p)^(n-k) [hier: p: kein fehler] -<small>Christoph</small>)

''Würde mich dem letzten anschliessen!!!!!!''
<br><br>
'''EDIT:<br>
Das x^3 steht für den Grad des Generatorpolynoms und müsste eigentlich x^4 heißen (CRC-Verfahren). An den Zwischenschritten und dem Ergebnis (bis auf q(x)) ändert das allerdings nichts.


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