Logik:Klausuren/07.02.2004/1.7 Aufgabe

1. Aufgabenstellung

Gegeben seien die Substitutionen
$ \sigma = \{ X \mapsto b \} $,
$ \theta = \{ W \mapsto a, Y \mapsto U, Z\mapsto f(a,U) \} $,
$ \lambda = \{ U \mapsto f(b,X), Y \mapsto W \} $

sowie die prädikatenlogische Formel
$ F = (\forall X) ((\forall Y) (p(X,Y,Z) \rightarrow (\exists Y) q(Y,W)) \rightarrow r(X,Y)) $

a) Geben Sie die Komposition $ (\sigma\theta)\lambda\; $ an.

b) Geben Sie $ F\theta\; $ an.

c) Geben Sie die Vorkommen der freien Variablen in $ F\; $ an.

2. Lösung

a)

$ (\sigma\theta)\lambda\; $
$ = (\{ X \mapsto b \}\{ W \mapsto a, Y \mapsto U, Z\mapsto f(a,U) \})\{ U \mapsto f(b,X), Y \mapsto W \} $
$ = \{ X \mapsto b, W \mapsto a, Y \mapsto U, Z \mapsto f(a,U)\}\{ U \mapsto f(b,X), Y \mapsto W \} $
$ = \{ X \mapsto b, W \mapsto a, Y \mapsto f(b,X), Z \mapsto f(a,f(b,X), U \mapsto f(b,X) \} $

b)

$ F\theta\; $
$ = (\forall X) ((\forall Y) (p(X,Y,Z) \rightarrow (\exists Y) q(Y,W))\theta _x \rightarrow r(X,Y)\theta _x) $
$ = (\forall X) ((\forall Y) (p(X,Y,Z)\theta_{xy} \rightarrow (\exists Y) q(Y,W)\theta_{xy}) \rightarrow r(X,Y)\theta _x) $
$ = (\forall X) ((\forall Y) (p(X,Y,f(a,U)) \rightarrow (\exists Y) q(Y,a)) \rightarrow r(X,U)) $

c)

Jeweils das letze Argument der Relationen in F:

$ F = (\forall X) ((\forall Y) (p(X,Y,\underline{Z}) \rightarrow (\exists Y) q(Y,\underline{W})) \rightarrow r(X,\underline{Y})) $

4. Alternativen/Diskussion/Hinweise etc.

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zur Klausur 07.02.2004
Aufgaben-Kategorie PL - Substitutionen