Prüfung Mathe 06.08.2001

Aufgabenblatt:
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/Abschluss/2001-08-06.pdf (geht nur aus dem Uninetz)

Aufgabe 1

Zuerst mal die Abbildungen selber:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f(x)	0	0	1	2	2	3	4	4	5	6
g(x)	0	1	1	2	3	3	4	5	5	6

Die Relationen:

R	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	X	X
1	X	X
2			X
3				X	X
4				X	X
5						X
6							X	X
7							X	X
8									X
9										X

S	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	X
1		X	X
2		X	X
3				X
4					X	X
5					X	X
6							X
7								X	X
8								X	X
9										X

$ R \circ S $	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	X	X	Y
1	X	X	X
2	X	X	X
3				X	X	Y
4				X	X	X
5				X	X	X
6							X	X	Y
7							X	X	X
8							X	X	X
9										X

Die Y markieren die Einträge, die man ergänzen muß, um wieder eine ÄR zu erhalten.

Ä-Klassen von $ R = \left\{ \{0,1\}, \{2\}, \{3,4\}, \{5\}, \{6,7\}, \{8\}, \{9\} \right\} $

Ä-Klassen von $ S = \left\{ \{0\}, \{1,2\}, \{3\}, \{4,5\}, \{6\}, \{7,8\}, \{9\} \right\} $

Ä-Klassen von $ (R \circ S)_{transitiviert} = \left\{ \{0,1,2\}, \{3,4,5\}, \{6,7,8\}, \{9\} \right\} $

Aufgabe 2

Für die Skizze brauchen wir sämtliche Extrem- und Wendestellen der Funktion in dem Intervall, zusätzlich natürlich noch die Funktionswerte für eine Stellen. (Kann mir mal jemand erklären, wie ich $ e^\Pi $ ohne Taschenrechner ausrechnen soll/kann?) --> e =~ 2,7 pi=~3,14, also 3^3 = 27..reicht ja zum skizzieren

Zuerst also die ein paar Ableitungen der Funktion:
$ f^\prime(x) = e^{x + \sin x} * (1 + \cos x) $

$ f^{\prime\prime}(x) = e^{x + \sin x} * \left( (1 + \cos x)^2 - \sin x \right) $

$ f^{\prime\prime\prime}(x) = e^{x + \sin x} * (1 + \cos x) * \left( (1 + \cos x)^2 - \sin x \right) + e^{x + \sin x} * \left( 2(1 + \cos x) * (-\sin x) - \cos x \right) $
Die letzte kann man sicher noch vereinfachen, aber man braucht sie eh nur einmal, darum hab ich mir das geschenkt. Kann natürlich gerne noch wer machen ;-)

lokale Extrema in $ [0,2\Pi] $:

$ f^{\prime} = e^{x + \sin x} * (1 + \cos x) = 0 $
Der erste Teil kann nicht Null werden und der zweite wird Null für $ x_E = \Pi $, also untersuchen wir das jetzt auf die Art des Extremums.

$ f^{\prime\prime}(\Pi) = 0 $, demnach kann es sich weder um ein lokales Minimum, noch um ein lokales Maximum handeln - bleibt noch eine Wendestelle. Einsetzen in die dritte Ableitung bringt nun $ f^{\prime\prime\prime}(\Pi) = e^\Pi \not= 0 $, also ist es eine Wendestelle und auch die einzige Extremstelle im gefragten Intervall!

Zum Skizzieren fehlen nun noch einige Werte der Funktion:

x	0	$ \frac{\Pi}{2} $	$ \Pi $	$ \frac{3}{2}\Pi $	$ 2\Pi $
f(x)	1	$ e^{\frac{\Pi+2}{2}} \approx 13 $	$ e^\Pi \approx 23 $	$ e^{\frac{3\Pi-2}{2}} \approx 40 $	$ e^{2\Pi} \approx 535 $

Das Integral berechnet sich wiefolgt (entspricht der ermittelten ersten Ableitung, also ist die Stammfunktion die Ausgangsfunktion):

$ \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos x) * e^{x + \sin x} dx = e^{2\pi} - 1 $

Aufgabe 3

Das charakteristische Polynom:
$ \lambda^3 - 6\lambda^2 -15\lambda -8 $

Nullstellen des charakt. Polynoms:
$ \lambda_1 = \lambda_2 = -1 $
$ \lambda_3 = 8 $

Die zugehörigen Eigenräume:

• für $ \lambda_{1/2} \to \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} a + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} b \ \vert \ a,b \in \mathbb{R} \right\} $
• für $ \lambda_3 \to \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} c \ \vert \ c \in \mathbb{R} \right\} $

Aufgabe 4

Wertetafel:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$ \alpha(x) $	0	3	6	9	2	5	8	1	4	7

Wie man sieht ist $ \alpha $ eine bijektive Abbildung der Menge M auf sich selbst und damit eine Permutation.

• $ \alpha = (1397)(2684) $
• $ \alpha^{-1} = (1793)(2486) $
• $ \alpha^2 = (19)(28)(37)(46) $
• $ \alpha^3 = \alpha^{-1} = (1793)(2486) $
• $ \alpha^4 = id = \alpha^0 $
• Für $ \alpha^{77} $ überlegt man sich, welchen Grad $ \alpha $ hat, nämlich 4 (zu sehen z.B. weil $ \alpha^4 = id $ oder auch wegen $ \operatorname{kgV}(4,4) = 4 $). Demnach gilt nun:
  $ \alpha^{77} = \alpha^{77 \ \operatorname{mod} \, 4} = \alpha^{1} = (1397)(2684) $

Aufgabe 5

c=46

Aufgabe 6

Siehe auch schwarzes Tafelwerk, S. 157:

$ y' + a(x) \cdot y = r(x) $ mit $ a(x) = - {1 \over (x + 1)}, r(x) = x + 1 $

Lösung: $ y = y_S + y_H $

$ y_H = c_1 \cdot e^{-A(x)} $, $ A(x) = \int a(x) dx = \int - {1 \over (x + 1)} dx = - ln(x + 1) $

=> $ y_H = c_1 \cdot e^{ln (x + 1)} = c_1 \cdot (x + 1) $

$ y_S = e^{-A(x)} * \int r(x) \cdot e^{A(x)} dx = (x + 1) \cdot (x + c_2) $

=> $ y = c_1 * (x + 1) + (x + 1)\cdot(x + c_2) = (x + 1) \cdot (x + c), c = c_1 + c_2 $

$ y(0) = 1 = (0 + 1) \cdot (0 + c) => c = 1 $

=> $ y = (x + 1) \cdot (x + 1) = x^2 + 2x + 1 $

Aufgabe 7

$ f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 1 $ auf [0,1]

Wertetabelle

x	0	1/2	1
f(x)	1	-1/8	1

Nach Newton Steigungsspiegel aufstellen und Koeffizienten ablesen:
$ c_0 = 1, $   $ c_1 = -\frac{9}{4}, $   $ c_2 = \frac{9}{2} $
 
$ p(x) = 1 - \frac{9}{4}(x) + \frac{9}{2}(x)(x-\frac{1}{2}) $

$ p(x) = \frac{9}{2}x^2 -\frac{9}{2}x + 1 $

Näherungsnullstellen von f(x) == Nullstellen von p(x):
$ x_1 = \frac{2}{3} $,    $ x_2 = \frac{1}{3} $

$ f(\frac{2}{3}) = -\frac{1}{27} $,    $ f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} $

Aufgabe 8

$ p_1 = 3 \cdot 0,1^3 \cdot 0,9^2 = 0,00243 $

$ p_2 = p_1 + 4 \cdot 0,1^4 \cdot 0,9^1 + 1 \cdot 0,1^5 \cdot 0,9^0 = 0,0028 $

$ E = \lceil \frac{1}{p_2} \rceil = 358 $

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