Mathe:Klausuren/Abschluss 20.02.2004

Aufgabenblatt:
http://www.math.tu-dresden.de/~baumann/Uebungsblaetter/Mathematik4(SS2003)/FachprfgFebr.ps
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/Abschluss/2004-02-20.pdf (geht nur aus dem Uninetz)

Aufgabe 1

R	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
1	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
2		X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
3			X	X	X	X	X	X	X	X	X
4				X	X	X	X	X	X	X	X
5					X	X	X	X	X	X	X
6						X	X	X	X	X	X
7							X	X	X	X	X
8								X	X	X	X
9									X	X	X
10										X	X

a) reflexiv?
Ja. (Alle Elemente aus Hauptdiagonalen in Relation!)

transitiv?
Nein.
Gg-Bsp: $ (2,1), (1,0) \in R $ aber $ (2,0) \notin R $

antisymmetrisch?
Nein.
Gg-Bsp: $ (2,3), (3,2) \in R $

symmetrisch?
Nein.
Gg-Bsp: $ (0,7) \in R $ aber $ (7,0) \notin R $

b) Es handelt sich bei R weder um eine Äquivialenzrelation, noch um eine Ordnungsrelation, da die Eigenschaft der Transitivität nicht gegeben ist.

c)

$ R \cap R^{-1} $	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	X	X
1	X	X	X
2		X	X	X
3			X	X	X
4				X	X	X
5					X	X	X
6						X	X	X
7							X	X	X
8								X	X	X
9									X	X	X
10										X	X

$ R \cap R^{-1} $ ist nicht transitiv, da z.B. $ (1,2) \in R $ und $ (2,3) \in R $ aber $ (1,3) \notin R $.

Definition der Inversen Relation $ R^{-1} $:
$ R^{-1} = \{(y,x) | x,y \in M \land (x,y) \in R\} $

(Quelle: http://www.f4.fhtw-berlin.de/~s0505399/2002_fhtw/mathe/mathe_relationen.pdf )

Begründung!? R ist nicht transitiv => $ R \cap R^{-1} $ auch nicht transitiv da und-Verknüpfung und da müssen beide die Bedingung transitiv erfüllen

Aufgabe 2

a) $ A*b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 54 \\ 18 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 57 \\ 22 \\ 10 \end{pmatrix} $

b) $ \begin{pmatrix} A|b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 && 3 && 6 && 0 \\ -3 && 4 && 2 && 1 \\ 2 && 1 && 1 && 9 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && \frac{159}{55} \\ 0 && 1 && 0 && \frac{89}{55} \\ 0 && 0 && 1 && \frac{8}{5} \end{pmatrix} $

Ja, der Vektor b liegt im Spaltenraum der Matrix a, da die Matrix A|b denselben Rang hat, wie die Matrix A (kein Zeilenführere in der letzten Spalte der zusammengesetzten Matrix oben).

c)

Rechnung siehe b)

$ b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 9 \end{pmatrix} = \frac{159}{55} * \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{89}{55} * \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{8}{5} * \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $

d)

Da alle Spaltenvektoren im Spaltenraum der Matrix liegen, muß die Matrix vollen Rang haben. Ihre Determinante ist also ungleich Null.

Aufgabe 3

Weg #1: ?

Aus den vorgegebenen Werten stellt man die Zeilen der folgendes lineares Gleichungssystem auf:
$ \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 && 0\\ 1 && 1 && 1 && 1 && 1\\ 1 && -1 && 1 && -1 && 1\\ 1 && 2 && 4 && 8 && 16\\ 1 && -2 && 4 && -8 && 16\\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ i \\ i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $

Daraus gewinnt man dann (z.B. durch Umformung in die rZSF) die gesuchte Funktionsgleichung p(x) (wie bei Weg #2):

Weg #2: Newton/Lagrange?

$ p(x) = i + (-\frac{1}{12} + \frac{1}{12}i)x^2 + (\frac{1}{12} - \frac{1}{12}i)x^4 $

Bei beiden Wegen Probe durch einsetzen in p(x):
$ p(-2) = i - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}i + \frac{4}{3} - \frac{4}{3}i = 1 $
$ p(-1) = i - \frac{1}{12} + \frac{1}{12}i + \frac{1}{12} - \frac{1}{12}i = i $
$ p(0) = i $
$ p(1) = i - \frac{1}{12} + \frac{1}{12}i + \frac{1}{12} - \frac{1}{12}i = i $
$ p(2) = i - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}i + \frac{4}{3} - \frac{4}{3}i = 1 $

Aufgabe 4

a) Einfach die gegebene Stammfunktion nehmen und ableiten. Eventuell reicht es auch aus auf Teil b) zu verweisen, weil man da ja eh die Integration zeigen soll...

$ F(x) = \cos x + x \ln x * \sin x $
$ F^\prime(x) = -\sin x + \ln x * \sin x + x * \frac{1}{x} * \sin x + x * \ln x * \cos x $
$ = \ln x (\sin x + x * \cos x) $

b) $ \int \ln x (\sin x + x * \cos x)\, \mathrm{d}x $
an der Stelle kommt jetzt partielle Integration ins Spiel, mit $ u = \ln x; v^\prime = \sin x + x*\cos x $ und $ u^\prime = \frac{1}{x}; v = x * \sin x $
$ = \left[\ln x * x * \sin x + c_1\right] - \int \frac{1}{x} * x * \sin x \, \mathrm{d}x $
$ = \left[\ln x * x * \sin x + c_1\right] - \left[-\cos x + c_2\right] $
$ = \ln x * x * \sin x + \cos x + c $

c) $ \int_{1}^{\pi} \ln x (\sin x + x * \cos x)\, \mathrm{d}x $
$ = \cos x + x * \ln x * \sin x \mid_1^\pi $
$ = \left[\cos \pi + \pi * \ln \pi * \sin \pi \right] - \left[\cos 1 + 1 * \ln 1 * \sin 1 \right] $
$ = \left[-1 + \pi * \ln \pi * 0 \right] - \left[\cos 1 + 1 * 0 * \sin 1 \right] $
$ = -1 - \cos(1) $

Aufgabe 5

x = 1-x^6 setzen in Potenzreihe von e^x (Schw. Tafelwerk, F3) einsetzen.

$ \int_{0}^{1} e*e^{-x^6}\, \mathrm{d}x = e* \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{n!}(x^6)^n}\, \mathrm{d}x $

Dann Summe auflösen (hier bis zum dritten Summanden, weil danach die Summanden < $ \frac{1}{100} $ sind und die Reihe alterniert?)

$ \int_{0}^{1} e^{1-x^6}\, \mathrm{d}x \approx e(1 - \frac{1}{7} + \frac{1}{26}) $

Aufgabe 6

a) Das charakteristische Polynom:
$ \lambda^3 + 3\lambda^2 - 4\lambda -12 $

Nullstellen des charakt. Polynoms:
$ \Lambda_1 = 2 $
$ \Lambda_2 = -2 $
$ \Lambda_3 = -3 $

Allgemeine Lösung:
$ y_1 = 5*c_1*e^{2x} + 3*c_2*e^{-2x} $
$ y_2 = 4*c_1*e^{2x} + 8*c_2*e^{-2x} + 1*c_3*e^{-3x} $
$ y_3 = 4*c_1*e^{2x} + 12*c_2*e^{-2x} + 1*c_3*e^{-3x} $

Probe:
Zuerst alle gerade bestimmten Gleichungen mal ableiten:
$ y_1^\prime = 10*c_1*e^{2x} - 6*c_2*e^{-2x} $
$ y_2^\prime = 8*c_1*e^{2x} - 16*c_2*e^{-2x} - 3*c_3*e^{-3x} $
$ y_3^\prime = 8*c_1*e^{2x} - 24*c_2*e^{-2x} - 3*c_3*e^{-3x} $

Und jetzt noch in das vorgegebene Gleichungssysteme einsetzen und prüfen:
$ 2y_1 + 3y_2 - 3y_3 = 10*c_1*e^{2x} + 6*c_2*e^{-2x} + 12*c_1* e^{2x} + 24*c_2*e^{-2x} + 3*c_3*e^{-3x} - 12*c_1*e^{2x} - 36*c_2*e^{-2x} - 3*c_3*e^{-3x} = 10*c_1*e^{2x} - 6*c_2*e^{-2x} = y_1^\prime $

$ 4y_1 - 2y_2 - y_3 = 20*c_1*e^{2x} + 12*c_2*e^{-2x} - 8*c_1*e^{2x} - 16*c_2*e^{-2x} - 2*c_3*e^{-3x} - 4*c_1*e^{2x} - 12*c_2*e^{-2x} - 1*c_3*e^{-3x} = 8*c_1*e^{2x} - 16*c_2*e^{-2x} - 3*c_3*e^{-3x} = y_2^\prime $

$ 4y_1 - 3y_3 = 20*c_1*e^{2x} + 12*c_2*e^{-2x} - 12*c_1*e^{2x} - 36*c_2*e^{-2x} - 3*c_3*e^{-3x} = 8*c_1*e^{2x} - 24*c_2*e^{-2x} - 3*c_3*e^{-3x} = y_3^\prime $

b)

Das zugehörige inhomogene LGS aufstellen
$ \begin{pmatrix} 5 && 3 && 0\\ 4 && 8 && 1\\ 4 && 12 && 1\\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} $

und z.B. mit Gaussverfahren lösen, ergibt
$ c_1 = -\frac{11}{20} $ $ c_2 = \frac{1}{4} $ $ c_3 = \frac{6}{5} $

Die Lösung des Anfangswertproblem ist also:
$ y_1 = -\frac{11}{4}*e^{2x} + \frac{3}{4}*e^{-2x} $
$ y_2 = -\frac{11}{5}*e^{2x} + 2*e^{-2x} + \frac{6}{5}*e^{-3x} $
$ y_3 = -\frac{11}{5}*e^{2x} + 3*e^{-2x} + \frac{6}{5}*e^{-3x} $

Aufgabe 7

a) z.B. mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus erhält man:
$ 19 * 10 \equiv 1 (\operatorname{mod} 21) $

b) $ 19 * 316 \equiv 1 (\operatorname{mod} 2001) $

c) Über Polynomdivision erhält man: $ p(x) = x^3 + x (\operatorname{mod} x^4+x^3+1) $

Für das multiplikative Element $ (p(x))^{-1} $ braucht man diesmal leider den Körper. Dort findet man heraus, daß $ p(x) = \alpha^{10} $ gilt. Die multiplikative Gruppe des Körpers hat $ 2^4-1 = 15 $ Elemente, weshalb man die Potenzen modulo 15 betrachten darf. Wir suchen also $ (\alpha^10)^{-1} = \alpha^{-10} = \alpha^5 $. Das jetzt wieder aus der Tabelle der Körperelemente ablesen und man hat $ \alpha^5 = x^3+x+1 $.

Probe:
$ (x^3 + x)*(x^3+x+1) = x^6 + x^3 + x^2 + x \equiv 1 (\operatorname{mod} x^4+x^3+1) $

d) Für die gesuchte Zahl soll gelten $ (p(x))^n = (\alpha^{10})^n = \alpha^{10n} \equiv 1 (\operatorname{mod} x^4+x^3+1) $. Die einzige Möglichkeit ist, wegen $ \alpha^0 = 1 $, n so zu wählen, daß das Produkt $ 0 \operatorname{mod} 15 $ergibt. Die einfachste Variante dies zu erreichen, ist n mit 15 zu belegen.
Anders erklärt: Im Körper GF(16) herrscht maximale Ordnung 15, also n=15.

Aufgabe 8

a)

z.B. (ab)(cd)(ef) vertikalte Spiegelung

b)

$ a^\Gamma = {a,b,e,f} $

die zugehörigen Permutationen:

• a => id
• b => (ab)
• c => - (verschiedene Grade der Ecken)
• d => - (verschiedene Grade der Ecken)
• e => (ae)(bf)
• f => (af)(be)

c)

(cd)

d)

Lemma von Cauchy-Frobenius anwenden:

$ \left| \Gamma_a \right| = 4 $

die zugehörigen Permutationen:

• id
• (cd)
• (ef)
• (cd)(ef)

e)

Lemma von Cauchy-Frobenius anwenden, wobei wir die benötigten Ergebnisse schon in b) und d) ausgerechnet haben.

$ \left| a^\Gamma \right| * \left| \Gamma_a \right| = 4 * 4 = 16 $ Automorphismen

Anmerkung: Die Aufgabe entspricht genau der M3-Ü37 (zweiter Graph).

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