Klausur Mathe1 28.01.2002

Aufgabenblatt:
http://www.math.tu-dresden.de/~baumann/Uebungsblaetter/Mathematik1(WS2001)/w01klausur.ps w01klausur.ps
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/I/2002-01-28.pdf (geht nur aus dem Uninetz)

Aufgabe 1

Antwort zu b)

Richtig ist nur b: $ A \neq B' $ (also die zweite Antwort)

Begründung: Bildet man von $ \mathcal A=\{Apollofalter, Aal\} $ die Gegenstandsinhalte $ \mathcal A' $, erhält man: $ A'=\emptyset=B $

Bildet man von $ B=\emptyset $ Merkmalsumfänge $ \mathcal B' $so erhält man: $ B'=\{Adler, Apollofalter, Aal\}\neq A $.

Also ist $ \mathcal(A, B) $ kein formaler Begriff des formalen Kontetxt

(Autor: s7290949@mail.inf.tu-dresden.de)

Aufgabe 2

1. $ {12 \choose 6}={12*11*10*9*8*7 \over 6*5*4*3*2*1}=4*3*7*11=84*11=924 $
2. 12

Aufgabe 3

Der erste Beweis ist richtig.
Beweis 2 ist falsch. Wenn R transitiv wäre muss es nicht auch negativ transitiv sein!
Beweis 3 ist falsch. Wenn R nicht transitiv ist, dann heißt das nicht, dass es keine Elemente gibt die transitiv verknüpft sind.

Aufgabe 4

(a) $ {3^8} =6561 $
(b) $ {7 \choose 2} =21 $
(c) $ {n \choose 2} ={n(n-1) \over 2} $

Aufgabe 5

(a)
R1 reflexiv: falsch: a-b+a-b=0 (mod 6) ist falsch. Gegenbeispiel: (0,1)
R2 symmetrisch: richtig, a+b + c+d = 0 = c+d + a+b
R3 ist transitiv: richtig, wenn (a+b)-(c+d)=0 und (c+d)-(e+f)=0 ist, dann auch (a+b)-(e+f)=0

(b) R3 ist die Äquivalenzrelation.
{(1,1),(2,0)(3,5),(4,4),(5,3),(0,2)}
Alle Paare (a,b) mit a+b=2 (mod 6) sind gleich zu (1,1)

Aufgabe 6

Normale Formel für Quadratische Gleichungen anwenden - Zahl unter der Wurzel in Polarform umwandeln und radizieren und dann wieder zurückwandeln:

$ x1 = 3+\sqrt{3} + i $

$ x2 = 3-\sqrt{3} - i $

Edit :

$ x2 = -3-\sqrt{3} - i $

Aufgabe 7

Die 3. Gleichung (die noch 2 Parameter enthält) so umstellen, dass eine einzige komplexe Zahl übrig bleibt: 0 = (...) + (...)i

hier kann man sich nun zunutze machen, dass (a + bi) = 0 => a=0 ^ b=0 und man hat wieder zwei Gleichungen und kommt auf:

a0 = -10
a1 = 20
a2 = -10
a3 = 3

Edit:

1) -10 = a0
2) 2 = a0 + 2*a1 + 4*a2 + 8*a3
3) 0 = a0 + a1*(2-i) + a2*(3-4i) + a3*(2-11i) (aus Aufgabenstellung)

--> a0 = -10
--> a1 = 18
--> a2 = -10
--> a3 = 2

probe machen in 3),2) --> stimmt !

Aufgabe 8

f(x)=sin²(x)	f(0)=0
f'(x)=2sin(x)cos(x)	f'(0)=0
f^2(x)=2cos²(x)-2sin²(x)	f^2(0)=2
f^3(x)=-8cox(x)sin(x)=-4*f'(x)	f^3(0)=0
f^4(x)=-4*f^2(x)	f^4(0)=-8

$ T4 = 0 + {0 \over 1! } x + {2 \over 2!}x^2 + {0 \over 3!}x^3+ {-8 \over 4!}x^4 =x^2 - {1 \over 3} x^4 $

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