Mathe:TP2 2009-02-13 Brunner

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Aufgabe 1

a)

$ f_x = 2xe^y+ye^y $

$ f_{xx} = 2e^y $

$ f_y=x^2e^y+x(e^y+ye^y) $

$ f_{yy}=x^2e^y+xe^y+x(e^y+ye^y) $

$ f_{xy}=2xe^y+e^y+ye^y $

b) $ 2xe^y + ye^y = 0 $

$ x^2e^y + xe^y + xye^y = 0 $

bei beiden durch $ e^y $ teilen (wird ja nie null)

$ 2x + y = 0 $

$ x^2 + x + xy = 0 $

c)Tafelwerk (5.Auflage) S.132 Determinante berechnen

Aufgabe 2

$ y^'-2/x*y = x^3 cos(x) $ -> $ y^'=2y/x + x^3cos(x) $

Variation der Konstanten muss angewandt werden:

a) Ausgang: $ y^'=2y/x $

$ \int dy/y=\int 2dx/x $

$ ln|y| = 2ln|x|+c $

$ |y|=|x|^2 * e^c $

$ y=x^2 * c_2 $ c_2 enhält e^c und das Vorzeichen der Betragsstriche.

b)$ y=x^2 * C(x) $

$ y'=2xC(x) + x^2C'(x) $

y und y' einsetzen:

$ 2xC(x) + x^2 C'(x) - 2/x * x^2 * C(x) = x^3 * cos(x) $

$ C'(x) = x * cos(x) $

$ C(x) = \int x * cos(x) dx = cos x + x*sin x $

$ y_p = x^2 * (cos x + x*sin x) $

$ y(x) = y_h + y_p = x^2 * C + x^2 * (cos x + x*sin x) $

c)$ y(\pi)=0 $

$ y=\pi^2cos\pi+\pi^3sin\pi+k\pi^2=0 $

$ sin\pi=0 $ und $ cos\pi=-1 $ => $ -\pi^2+k\pi^2=0 $

k=1

$ y=x^2cosx+x^3sinx+x^2 $

Aufgabe 3

a) f(x) ist gerade --> alle ungeraden Anteile = 0

$ \begin{pmatrix} a_0 & a_2 & 1 \\ 1,1 & x^2,1 & f(x),1\\ 1,x^2 & x^2,x^2 & f(x),x^2\\ \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} a_0 & a_2 & 1 \\ 2\pi & 2/3 * \pi^3 & 0 \\ 2/3 * \pi^3 & 2/5 * \pi^5 & -4 * \pi \\ \end{pmatrix} $

NGS ->
$ a_0 = 15/(2 * \pi^2) $
$ a_2 = -45/(2*\pi^4) $

$ y_2 = 15/(2 * \pi^2) - 45/(2*\pi^4) x^2 $
b)
$ y_1 = 0 $
$ y_3 = y_2 $

Aufgabe 4

a) (i) 2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18 (und 3 davon aussuchen)

(ii) 20 = 2² * 5 = (2-1) * 2 * (5-1) = 8 Elemente

(iii) Ordnung 4: 3,7,13, 17 (ein Element reicht)

b) (i) 720 = 2^4*3^2*5 --> 5*2*1=10 Gruppen

(ii) kgV(20,36) = 180 != 720 oder ggT(20,36) = 4 != 1

(iii) U = {(0,0),(0,6),(0,12),(0,18),(0,24),(0,30)}

(iv) V = U

Aufgabe 5

a) p = 2 und n = 7

mit n=7 kommen nur noch Polynome mit dem Grad 7 und 1 in Frage:

mit grad 1 gibt es 2 Stück --> grad 7 gibt es 18 Stück

b) <3> = {3, 6, 12, 24, 48, 96, 65}

da 65 schon in <3> enthalten ist, ist <3> = <65>

c) 127 ist eine Primzahl damit haben die Elemente entweder die Ordnung 1 oder 127 --> wenn a² enthalten ist sind auch alle anderen Elemente enthalten (das gleiche für a^9)

Aufgabe 6

a) X - P(X)

1 - 1/16

2 - 2/16

3 - 2/16

4 - 3/16

6 - 2/16

8 - 2/16

9 - 1/16

12 - 2/16

16 - 1/16

b) EX = 25/4

c) P(X=1)+P(X=4)+P(X=9)+P(X=16)=3/8=P(X=Quadratzahl)

d) 1-P(X=Quadratzahl)² = 1-(3/8)² = 55/64