Logik:Klausuren/05.07.2003/9 Aufgabe
Betrachten Sie die folgende prädikatenlogische Formel:
$ (\neg p(a,b) \wedge (\forall X)(p(X,a) \vee p(X,b))) $
a) Zeigen Sie, dass es keine Interpretation mit einelementigen Grundbereich gibt, unter der diese Formel wahr ist.
b) Geben Sie eine Interpretation für diese Formel an, deren Grundbereich genau zwei Elemente hat, und unter der die Formel wahr wird.
c) Zeigen Sie, dass es für jede Menge D mit mehr als 2 Elementen eine Interpretation I mit Grundbereich D gibt, so dass F unter I wahr ist.
2. Lösung
a)
I:
D = $ d_{1} $
$ a^I = d_{1} $
$ b^I = d_{1} $
(1) $ p^I = \varnothing $
$ Z = \lbrace X \mapsto d_{1} \rbrace $
$ [(\neg p(a,b) \wedge (\forall X)(p(X,a) \vee p(X,b)))]^{I,Z} $ =
$ [\neg p(a,b)] \wedge^* [(p(X,a) \vee p(X,b))]^{I,Z} $ =
$ [\neg p(a,b)] \wedge^* [p(X,a)]^{I,Z} \vee^* [p(X,b)]^{I,Z} $ =
$ \neg^* p(a,b)^{I,Z} \wedge^* ( p(X,a)^{I,Z} \vee^* p(X,b)^{I,Z} ) $ =
$ \neg^* p^I(d_{1},d_{1}) \wedge^* ( p^I(X^{I,Z},d_{1}) \vee^* p(X^{I,Z},d_{1}) ) $ =
$ \neg^* p^I(d_{1},d_{1}) \wedge^* ( p^I(d_{1},d_{1}) \vee^* p(d_{1},d_{1}) ) $ =
$ \neg^* f \wedge^* ( f \vee^* f) ) $ =
$ \mathbf{f} $
