Mathe:Klausuren/Abschluss 28.07.2003

Aufgabenblatt:
http://www.math.tu-dresden.de/~baumann/Uebungsblaetter/Mathematik4(SS2003)/Fachpr%fcfung280703.ps
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/Abschluss/2003-07-28.pdf (geht nur aus dem Uninetz)

Aufgabe 1

a)

reflexiv?
JA

transitiv?
JA
Bsp: $ (5,0), (0,10) $ und auch $ (5,10) \in R $

antisymmetrisch?
NEIN
Bsp: $ (0,5) \in R $ und $ (5,0) \in R $

symmetrisch?
JA
Für alle $ (a,b) \in R $ gilt auch, dass $ (b,a) \in R $ oder einfach an der Relationsmatrix die Symmetrie sehen.

b)

R ist reflexiv, transitiv und symmetrisch. Daraus folgt, dass R Äquivalenzrelation ist. Darüber hinaus ist R nicht antisymmetrisch, daher kann R keine Ordnungsrelation sein.

c)

$ [0]_R = \{0,5,10\} $

$ [1]_R = \{1,6\} $

$ [2]_R = \{2,7\} $

$ [3]_R = \{3,8\} $

$ [4]_R = \{4,9\} $

Aufgabe 2

a)

$ A*b = \begin{pmatrix} 10 \\ 22 \\ 33 \end{pmatrix} $

b)

Lösungsvektor des Inhomogenen LGS:

$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $

$ A * \vec{x} = b $

Ja, denn $ \vec x $ ist Lösung für das zugehörige LGS. Somit haben wir den Streckungs-/Stauchungsfaktor ermittelt, mit dem man $ A*\vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} $ aus Linearkombinationen der Spaktenvektoren von A dastellen kann.

c)

$ 1 * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 * \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + 3 * \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $

d)

Da der Vektor $ V_n = \begin{pmatrix} s_1 \\ .. \\ s_n \end{pmatrix} $ nicht im Spaltenraum von $ D_n $ liegt, muß der Rang von $ D_n < n $ sein (Zeilenrang = Spaltenrang), denn sonst wäre jeder Vektor $ V_n $ durch Linearkombination der n Spaltenvektoren von $ D_n $ dastellbar. (Schwarzes Tafelwerk, S. 183, unten)

$ => rg(D_n) < rg(D_n | V_n) $

$ => det(D_n) = 0 $

Aufgabe 3

$ p(x) = 1 + (\frac{1}{12} - \frac{1}{12}i) * x^2 + (-\frac{1}{12} + \frac{1}{12}i) * x^4 $

Aufgabe 4

a)

Partiell integrieren, dann so umstellen das raus kommt: $ e^x * sin(x) = e^x * sin(x) $

b)

$ \int e^x*sin(x)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} e^x*(sin(x) - cos(x)) + C $

c)

$ \int_{0}^{3\pi} e^x * sin(x)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}e^{3\pi} + \frac{1}{2} $

d)

Mit den etwas merkwürdig definierten Geraden sind einfach die Integrationsgrenzen gemeint.

Achtung: Beim integrieren entweder die einzelnen Summanden z.B. in Betrag setzen, damit sich Flächenstücke unter und über der x-Achse nicht subtrahieren! (Kennt man ggf. aus seiner Abiklausur - sehr beliebt :)

$ .. = \frac{1}{2} + e^\pi + e^{2\pi} + \frac{e^{3\pi}}{2} $

(siehe Übung Mathe2 (SS2004) H5)

Aufgabe 5

Die Aufgabe ist exakt diesselbe wie die M2-H6. Ich übernehm hier mal die offizielle Lösung von Frau Baumann (leider auch etwas knapp).

$ e^{-6x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n * \frac{x^{6n}}{n!} $

$ \int_{0}^{1} e^{-6x}\, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \left( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n * \frac{x^{6n}}{n!} \right)\, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^\infty \left( \int_{0}^{1} (-1)^n * \frac{x^{6n}}{n!} \right) \, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} * \frac{1}{6n+1} = 1 - \frac{1}{7} + \frac{1}{26} - \frac{1}{114} +- ... \approx 1 - \frac{1}{7} + \frac{1}{26} $

Anmerkung: Hier werden also wirklich alle Folgenglieder weggelassen, die betragsmäßig kleiner als $ \frac{1}{100} $ sind. Darf man generell so vorgehen oder müßte man die Restfolge (speziell ihren Grenzwert) eigentlich noch genauer betrachten?

Lösung: Man kann hier so vorgehen, weil die Summanden alternierend sind (+-+-...).

Aufgabe 6

a)

$ y1 = 1 * c1 * e^x + 1 * c2 * e^{-2x} $

$ y2 = 1 * c1 * e^x + 3 * c2 * e^{-2x} + 1 * c3 * e^{-3x} $

$ y3 = 1 * c1 * e^x + 4 * c2 * e^{-2x} + 1 * c3 * e^{-3x} $

Wenn ich die Probe mache wir in irgendeinem anderen Thread erklärt klappt es diesmal dann auch.

Wenn jemand Lust hat, dann kann er hier gerne die Probe für DGL-Systeme erklären!

b)

c1 = -3 c2 = 1 c3 = 1

Wenn ich das in das Gleichungssystem einsetze aus dem ich sie habe paßt das wieder. Daraus sollte dann hoffentlich auch folgen:

$ y1 = 1 * (-3) * e^x + 1 * (1) * e^{-2x} $

$ y2 = 1 * (-3) * e^x + 3 * (1) * e^{-2x} + 1 * (1) * e^{-3x} $

$ y3 = 1 * (-3) * e^x + 4 * (1) * e^{-2x} + 1 * (1) * e^{-3x} $

als Lösung der Anfangswertaufgabe.

Aufgabe 7

a)

EEA machen (d.h. erweiterter euklidscher Algorithmus)

m = 13

b)

EEA machen

m=413

c)

$ x^7 = x^2 + x + 1 $ in $ GF(2)[x]/x^4 + x^3 + 1 $

EEA machen

$ (x^7)^{-1} = x^3 + x^2 + x $ in $ GF(2)[x]/x^4 + x^3 + 1 $

Probe: $ ({x^{7}})^{-1} * x^7 = x^3 + x^2 + x * x^2 + x + 1 = x^5 + x^3 + x = 1 $ in $ GF(2)[x]/x^4 + x^3 + 1 $

Alternative: Schieberegister und Potenzen addieren.

d)

Schieberegister aufmalen (Wenn vorne kleinestes Bit, dann hinten vor letzem Kasten eine Additions-Verbindung)

$ 2^4 = 16 $ Elemente im Ring (paßt auch mit Elemente im Schieberegister + Nullvektor)

$ x^7 = x^2 + x + 1 = \alpha^7 $ (aus Tabelle ablesen)

Falsch: $ (\alpha^7)^{13} = \alpha^{7*13} = \alpha^1 $

Richtig $ (\alpha^7)^{105} = \alpha^{735} = \alpha^0 $,

Erklärung:

Wir suchen ja eine Zahl n die multipliziert mit 7 (Potenzgesetze!) die Null (und nicht die 1) ergibt. Das heißt wir suchen

kgv(7,17) = $ \frac{7*15}{ggt(7,15)} = \frac{735}{1} = 735 $

und das mod 15 ergibt 0... => n = 735

=> n=13

Ich seh das anders:

(a^7)^n = a^7n = 1 = a^0

demnach 7n = 0 mod 15

also n = 0. Bemerkung: laut Aufgabenstellung muss n>0 gelten!

Aufgabe 8

a)

Zum Beispiel:

(ag)(bh)(ce)(df)

b)

$ a^\Gamma = \{a,b,c,d,e,f,g,h\} $

Bsp. für die zugehörigen Permutationen:

• a => id
• b => (ab)(gh)
• c => (ac)(eg)
• d => (ad)(fg)
• e => (ae)(bf)(cg)(dh)
• f => (af)(be)(cf)(dg)
• g => (ag)(ce)(bh)(df)
• h => (ah)(bg)(cf)(de)

c)

Zum Beispiel:

(bd)(fh) $ \in \Gamma_a $

d)

$ \left| \Gamma_a \right| = 6 $

die zugehörigen Permutationen:

• id
• (bd)(fh)
• (bc)(eh)
• (cd)(ef)

e)

Lemma von Cauchy-Frobenius anwenden.

Das heißt hier einfach Ergebnis von d) mit Betrag des Ergebnisses von b) multiplizieren, weil wir die ja oben schon ermittelt hatten.

.. = 8 * 6 = 48 Automorphismen

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