Mathe:TP2 2006-08-24 Brunner

Aufgabe 1

a)

$ U = \begin{Bmatrix} (id), (1245), (14)(25), (1542) \\ \end{Bmatrix} $ => Anzahl Elemente von U = 4

b)

$ (12)U \neq U (12) \Rightarrow $U ist kein Normalteiler

c)

$ \begin{matrix} (135)^2 x = (2453) \\ (135)(135)x = (2453) \\ (153)x = (2453) \\ x = (153)^{-1} (2453) \\ x = (135)(2453)\\ x = (1245) \\ \end{matrix} $

Aufgabe 2

a)

$ P(x) = (x+1)(x+1)(x+1) $

Q(x) ist irreduzibel, da Q(x) in Z3 keine Nullstellen hat.

b)

$ \begin{matrix}\alpha^2 = 2\alpha + 1 & \alpha^4 = \alpha^2 \cdot \alpha^2 = 2\\ 1.Nullstelle = \alpha & 2.Nullstelle = \alpha^3\\\end{matrix} $

Q(x) irreduzibel <=> $ \alpha $ Nullstelle => $ \alpha^p, (\alpha^p)^p $ Nullstelle usw. (hier: $ p = 3 $)

Aufgabe 3

LaGrange-Multiplikator (schwarze Formelsammlung S.133).

$ f(x,y) = x^2 + 4 * y^2 $, Nebenbedingung $ g(x,y) = 4x - 8y - x^2 - 4y^2 + 24) = 0 $ (z eingesetzt)

$ \begin{matrix}L(x,y) = x^2 + 4 y^2 + \lambda(4x - 8y - x^2 - 4y^2 + 24) = 0 \\ L_x(x,y) = 2x + 4\lambda - 2\lambda x \\ L_y(x,y) = 8y - 8\lambda - 8\lambda y \\ L_{\lambda}(x,y) = g(x,y)\end{matrix} $

Jetzt $ L_x, L_y, L_{\lambda} $ alle gleich 0 setzen und auflösen.

$ \begin{matrix} L_x: \lambda = -x/(2-x) \\ L_y: \lambda = -y/(1-y) \\ \lambda = \lambda \\ x = -2y \\ L(x,y) = 4*(-2y)-8y+(-2y)^2-4y^2+24=0 \\ = y^2+2y-3 \end{matrix} $

Als kritische Punkte ergeben sich $ (6,-3) $ und $ (-2,1) $, zu diesen dann noch die Determinante berechnen und dadurch wirkliche Extremstelle feststellen (vgl. schwarze Formelsammlung S. 132). gT

Aufgabe 4

a)

$ y_h = (c_1+c_3 x)e^{2x} + (c_2 + c_4 x)e^{-2x} $

b) Störfunktion $ 48x + 16 $ => "Polynomansatz"

$ y_p = ax + b $

Ableiten, einsetzen in ursprüngliche Gleichung ($ y^{(4)} - 8y^{''} + 16y = 48x + 16 $), durch Koeffizientenvergleich ergeben sich a und b.

c) 2 ist (doppelte) Nullstelle, somit Ansatzmethode mit Resonanz: $ y_p = x^2(cx+d)e^{2x} $.

Aufgabe 5

a)

$ \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & 1 \\ (x,x) & (x^3,x) & (f(x),x) \\ (x,x^3) & (x^3,x^3) & (f(x), x^3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & 1 \\ \int_{-2}^{2} x^2 dx & \int_{-2}^{2} x^4 dx & \int_{-2}^{0} -x^3 dx + \int_{0}^{2} x^3 dx \\ \int_{-2}^{2} x^4 dx & \int_{-2}^{2} x^6 dx & \int_{-2}^{0} -x^5 dx + \int_{0}^{2} x^5 dx \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & 1 \\ \frac{16}{3} & \frac{64}{5} & 8 \\ \frac{64}{5} & \frac{256}{7} & \frac{64}{3} \\ \end{pmatrix} $

$ P(X) = \frac{5}{8}x + \frac{35}{96} x^3 $

b) Steigungsspiegel => Q(x)

x	-2	-1	0	1	2
$ y_k $	-4	-1	0	1	4
Q(x)	-4	-1	0	1	4

$ \Rightarrow $ Q(x) ist gleichzeitig das Interpolationspolynom

Aufgabe 6

x = Anzahl Rosinen in 50g Kuchen

$ P(X \geq 1) \geq 0,9 \Rightarrow P (X < 1 ) < 0,1 \Rightarrow P (X = 0 ) < 0,1 $

$ P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} $

$ P(X = 0) = \frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda} < 0,1 $

$ ln|10| < \lambda $

$ \lambda > 2,3 $

$ \Rightarrow $ auf 50g Kuchen mehr als 2,3 Rosinen. Da der gesamte Teig eine Masse hat von 1000g und die Masse der Rosinen vernachlässigt wird, müssen auf die gesamte Masse mehr als $ 20 \cdot 2,3 = 46 $ Rosinen gegeben werden um die Bedingungen in der Aufgabenstellung zu erfüllen. Streng genommen müssten 47 Rosinen in den Teig. Es sei bemerkt, dass bei der Rechnung davon ausgegangen wird, dass aus 50g Teig 50g Kuchen entstehen und die Rosinen vernachlässigbar leicht sind.