Klausur Mathe3 24.01.2003

Aufgabenblatt:
http://www.math.tu-dresden.de/~baumann/Uebungsblaetter/Mathematik3(WS2002)/Semestralklausur.ps
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/III/2003-01-24.pdf (geht nur aus dem Uninetz)

Aufgabe 1

(a)
$ \begin{pmatrix} A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 && 4 && -2 \\ -3 && 4 && 0 \\ -3 && 1 && 3 \end{pmatrix} $

(b)
$ p_A(\lambda) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 $

(c)
$ \lambda_1 = 1, $
$ \lambda_2 = 2, $
$ \lambda_3 = 3 $

(d)
$ b_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $, $ b_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} $, $ b_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $

(e)
$ y_1(x) = c_1e^x + 2c_2e^{2x} + c_3e^{3x} $
$ y_2(x) = c_1e^x + 3c_2e^{2x} + 3c_3e^{3x} $
$ y_2(x) = c_1e^x + 3c_2e^{2x} + 4c_3e^{3x} $

(f)
$ c_1 = 3e^2-7 $
$ c_2 = 5 - 2e^2 $
$ c_3 = e^2-2 $

Also:

$ y_1(x) = (3e^2-7)e^x + (10 - 4e^2)e^{2x} + (e^2-2)e^{3x} $
$ y_2(x) = (3e^2-7)e^x + (15 - 6e^2)e^{2x} + (3e^2-6)e^{3x} $
$ y_2(x) = (3e^2-7)e^x + (15 - 6e^2)e^{2x} + (4e^2-8)e^{3x} $

Aufgabe 2

(a) $ u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} $

(b) $ w = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} $

(c) $ d(y,w) = \sqrt24 $

Aufgabe 3

(a) $ \alpha=(ad)(bc)(eh)(fg) $, $ \beta=(ab)(dc) $, $ \gamma=(af)(dg) $
(b) $ a^\Gamma=\{a, b, c, d, f, g\} $
(c) $ \delta=(fb)(gc) $
(d) $ f^{\Gamma_a} = \{f,b\} $
(e) $ |\Gamma_{a,f}|=1 $
(f) $ |\Gamma_{a}|=|\Gamma_{a,f}|*|f^{\Gamma_a}|=1*2=2 $
(g) $ |\Gamma|=|\Gamma_a|*|a^{\Gamma}|=2*6=12 $
(e) $ \Gamma=<\alpha, \beta, \gamma, \delta> $

Aufgabe 4

(a)
$ x^1 (mod p(x)) = x $
$ x^2 (mod p(x)) = x+1 $
$ x^3 (mod p(x)) = 2x+1 $
$ x^4 (mod p(x)) = 2 $
$ x^5 (mod p(x)) = 2x $
$ x^6 (mod p(x)) = 2x+2 $
$ x^7 (mod p(x)) = x+2 $
$ x^8 (mod p(x)) = 1 $

(b)
$ \alpha = x $ und $ \alpha = x^3 $

---

zurück zu Klausuren