Logik:Klausuren/08.02.2003/2.4 Aufgabe

1. Aufgabenstellung

Vier Angler, Porschini, Kulik, Agamon und Epifanov, sitzen am Stammtisch und prahlen mit ihren Angelerfolgen. Schließlich kommt es zu folgendem Wortwechsel:

Porschini meint, Kulik sei ein Lügner. Agamon behauptet, dass sowohl Kulik als auch Porschini die Unwahrheit sagen. Kulik verteidigt sich und meint, Agamon und Epifanov seien hier die Lügner. Dies veranlasst Epifanov zu der Aussage, dass weder Kulik noch Agamon die Wahrheit sagen.

Die aussagenlogische Variable $ a\; $ stehe im folgenden für die Aussage, dass Agamon die Wahrheit sagt. Analog bezeichnen $ e,p\; $ bzw. $ k\; $ die Aussagen, dass Epifanov, Porschini bzw. Kulik die Wahrheit sagen.

a) Formulieren Sie den Wortwechsel mit den Mitteln der Aussagenlogik.
b) Beweisen Sie mit dem aussagenlogischen Resolutionsverfahren, dass Agamon lügt.
c) Was für Schlussfolgerungen können Sie mit den Mitteln der Aussagenlogik über die Glaubwürdigkeit von Porschini ziehen? Begründen Sie diese.

2. Lösung

a)

Man muss Äquivalenzen verwenden, denn wenn A die Wahrheit sagt, lügt B; wenn A lügt und sagt, dass B lügt, dann sagt B die Wahrheit.

$ F_1 = (p \leftrightarrow \neg k) $
$ F_2 = (a \leftrightarrow \neg k \and \neg p) $
$ F_3 = (k \leftrightarrow \neg a \and \neg e) $
$ F_4 = (e \leftrightarrow \neg k \and \neg a) $

b)

Da im Buch keine Regeln zum Umformen von Äquivalenzen existieren, durfte man sich die hier selbst basteln:

$ (F \leftrightarrow G) \equiv ((F\rightarrow G) \and (G\rightarrow F)) $, also:

$ (F \leftrightarrow G) $

$ G,\ \neg F\ |\ F,\ \neg G\; $

Das heisst, dass man zwei neue Klauseln, eine mit $ F\; $ und $ \neg G\; $, die andere mit $ G\; $ und $ \neg F\; $, aus einer Äquivalenz erhält.

Zum Beweis die entsprechende Wahrheitstabelle:

$ F\; $	$ G\; $	$ (F\leftrightarrow G) $	$ (F\rightarrow G) $	$ (G\rightarrow F) $	$ ((F\rightarrow G) \and (G\rightarrow F)) $
f	f	w	w	w	w
f	w	f	w	f	f
w	f	f	f	w	f
w	w	w	w	w	w

Nun zur eigentlichen Resolution:

Sei $ F = \{F_1, F_2, F_3, F_4\}\; $ , so müssen wir nun zeigen:

$ F \models_{a} a $

Nach Satz 3.15 genügt es hierfür, die Allgemeingültigkeit von $ F \rightarrow a\; $ zu zeigen, also:

$ (((((p \leftrightarrow \neg k) \and (a \leftrightarrow \neg k \and \neg p)) \and (k \leftrightarrow \neg a \and \neg e)) \and (e \leftrightarrow \neg k \and \neg a)) \rightarrow a) $

Mithilfe der oben aufgestellten Transformationsregeln können wir nun die Klauselform bilden und wie gewohnt die Resolution durchführen. Dazu habe ich jetzt aber keine Lust und der geneigte Leser möge dies selber tun.

c)

Hm.

4. Alternativen/Diskussion/Hinweise etc.

Achtung! An dieser Aufgabe haben sich schon sehr viele Studenten eine massive Hirnverknotung zugezogen, die Heilungsaussichten gehen gegen Null. (Es gab 9 Punkte auf diese Aufgabe!)

---

zur Klausur 08.02.2003
Aufgaben-Kategorie AL - ResolutionAufgaben-Kategorie Sonstige