Klausur Mathe3 05.02.2004
Aufgabenblatt:
ftp://ftp.ifsr.de/klausuren/Mathe/III/2004-02-05.pdf (geht nur aus dem Uninetz)
Inhaltsverzeichnis
Aufgabe 1
a)
Eigenwerte: -2, 1, 4
b)
Inhomogenes LGS lösen:
C1 = 1
C2 = 5
C3 = 2
AWA-Lösung:
$ y_1 = -2*1*e^x + 0*5*e^{3x} + 0*2*e^{-x} $
$ y_2 = 1*1*e^x + 1*5*e^{3x} + 1*2*e^{-x} $
$ y_2 = 1*1*e^x + 1*5*e^{3x} + 3*2*e^{-x} $
is richtig!!!!
Aufgabe 2
a)
Zum Beispiel:
$ \alpha = (ef)(da)(cb)(kg)(hj)(li) $
b)
Bahn von g = {g,j,l,h,k,i}
Eine Vertauschung mit außen liegenden Punkten erwirkt eine Trennung zusammengehöriger Elemente. Bsp: (gf)(le)(ha) Es handelt sich um notwendige Vertauschungen jedoch wir die Verbindung zwischen l und h unterbrochen!
c)
| Stabilisator zur Ecke f | = 2
d)
6 * 2 = 12 Automorphismen
Aufgabe 3
Logarithmentagel für Modularpolynom aufstellen. Bei mir ist ganz links die 1 und bis nach rechts aufsteigend dann x^3. Ich starte mit $ \alpha^0 = 1 $ und ende wieder mit $ \alpha^{15} = \alpha^0 = 1 $.
a)
$ \alpha^9 = 1+x^2 $
b)
$ \alpha^4 = x^3+1 $
$ \alpha^5 = x^3+x+1 $
$ \alpha^4 * \alpha^5 = \alpha^9 = x^2 + 1 $
c)
$ (x^3+1) * h(x) mod p(x) = x^2 + 1 $
<=>
$ \alpha^4 * h(x) mod p(x) = \alpha^{13} $
=>
$ \alpha^4 * \alpha^9 = \alpha^13 = x^2 + 1 $
=>
Ergebnis: $ h(x) = 1 + x^2 $
d)
Schauen welche beiden aufeinanderfolgenden Zeilen in der Logarithmentafel eben genau das gewünschte Polynom ergeben.
n = 12
n+1 = 13, denn
$ \alpha^{12} + \alpha^{13} = \alpha^9 = x^2 + 1 $
Aufgabe 4
Grade nachgerechnet, untenstehende Lösung ist richtig. (nein stimmt nicht, begründung und richtige lösung ganz unten)
also ich komme auf:
d=17 und da bin ich mir einigermaßen sicher, und
m=57, da bin ich mir aber eher unsicher
Berechnung von d
d = e ^-1 mod phi(n)
e = 53; n=77; p,q=7,11; phi(77) = (7-1)*(11-1) = 6*10 = 60
d = 53 ^-1 mod 60
| 60 | 53 | |
| 60 | 1 | 0 |
| 53 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | -1 |
| 4 | -7 | 8 |
| 3 | 8 | -9 |
| 1 | -15 | 17 |
17 = 53^-1 mod 60
Probe:
17*53 = 530+350+21 = 880+21 = 901 = 15*60 + 1
Berechnung von m
m = c^d mod n
m = 39^17 mod 77
chinesischer Restsatz
77=7*11
m1 = 39^17 mod 7 = (35+4)^17 = 4^17 = (2^2)^17 = 2^34 = 2^33 *2 = (2^3)^11 *2 = (7+1)^11*2 = 2
m2 = 39^17 mod 11 = (44-5)^17 = (-5)^17 = (-1)^17 * 5^17
m2 = -1 * 5^17 = -1 * 5^(3*5) * 5^2 = -1 * (5^3)^5 * 25 = -1 * 125^5 * (22+3)
m2 = -1 * (121+4)^5 * 3 = -3 * 4^5 = -3 * (2^2)^5 = -3 * (2^5)^2 = -3 * 32^2
m2 = -3 * (33-1)^2 = -3 * (-1)^2 = -3 = 11-3 = 8
Es geht noch schneller: Man kann die Potenzen modulo (p-1) bzw (q-1) nehmen:
m1 = ( 39 ^(17 mod 6) ) (mod 7) = 4 ^ (18-17) mod 7 = 4 ^-1 = 2
m2 = ( 39 ^(17 mod 10) ) (mod 11) = 6 ^ 7 = (-5)^(-3) = (-1)^-3 * 5^-3
m2 = -1 * (5^3)^-1 = -1* (121+4) ^-1 = -1 * 4^-1 = -1 * 3 = -3 = 8
| 11 | 7 | |
| 11 | 1 | 0 |
| 7 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | -1 |
| 3 | -1 | 2 |
| 1 | 2 | -3 |
a=2, b= -3, Probe: 22-21 = 1
m = p*a*m1 + q*b*m2 mod n
m = 11*2*8 + 7*(-3)*2 mod 77
m = 88*2 -42 = 11*2-42 =22-42 = -20 = 77-20 = 57
richtige Lösung:
bis zu
x = 39^17 = 2 (mod 11)
x = 19^17 = 8 (mod 7)
stimmts noch. Dann chinesischen Restsatz anwenden liefert:
7*x1 = 8 (mod 11)
11*x2 = 2 (mod 7)
umformen (mit Inversen, die oben schon berechnet sind):
x1 = 8 * -3 = 9 (mod 11)
x2 = 2 * 2 = 4 (mod 7)
jetzt wieder zusammenfassen:
x = 9*7 + 4*11 = 63 + 44 = 107 = 30 (mod 11*7)
Wers nicht glaubt, soll in seinem Hefter nachschauen. (26.07.07)
